Definisi Paradox Two Envelopes
Paradox Two Envelopes (Paradox Dua Amplop) adalah sebuah teka-teki probabilitas dan keputusan yang melibatkan dua amplop berisi uang. Salah satu amplop berisi jumlah x, sementara amplop lain berisi dua kali lipatnya, yaitu 2x. Setelah Anda memilih salah satu amplop secara acak, Anda diberi kesempatan untuk menukar amplop tersebut dengan yang lain. Pertanyaan yang muncul: Apakah menukar amplop itu meningkatkan nilai harapan Anda?
Logika Dasar yang Menimbulkan Paradox
Langkah langkah berpikir yang biasanya diikuti:
- Pilih satu amplop secara acak; misalkan isinya A.
- Karena amplop yang tidak dipilih berisi 2A atau A/2 dengan probabilitas masing masing, nilai harapan dari menukar menjadi:
E = (2A) + (A/2) = (A + A/4) = 1.25 A
Hasil tersebut tampak lebih besar daripada nilai amplop yang sedang dipegang (A), sehingga terdengar logis untuk selalu menukar. Namun, kemudian Anda dapat mengulangi proses yang sama pada amplop yang baru, menghasilkan keputusan menukar terus menerus, yang jelas tidak masuk akal.
Analisis Matematis
Paradox muncul karena asumsi yang tidak tepat pada distribusi nilai x. Ada dua cara utama untuk menyingkirkan kontradiksi:
1. Menggunakan Distribusi Probabilitas yang Terdefinisi
Jika kita menetapkan sebuah distribusi prior untuk nilai x (misalnya distribusi eksponensial atau uniform pada rentang terbatas), maka probabilitas bahwa amplop yang dipilih berisi nilai kecil atau besar tidak selalu . Nilai harapan menukar menjadi:
E = P(2x|A) 2A + P(x/2|A) (A/2)
di mana P(2x|A) dan P(x/2|A) bergantung pada prior.
Jika prior tidak mendukung nilai sangat besar, maka P(2x|A) menjadi kecil, sehingga nilai harapan menukar tidak lagi melebihi A.
2. Memperhatikan Ketidakterbatasan Nilai
Jika Anda mengasumsikan bahwa x dapat berjumlah tak terhingga, maka nilai harapan menjadi tidak terdefinisi (tak hingga). Dalam hal ini, perbandingan 1.25 A dengan A tidak memiliki arti yang sah karena ekspektasi tak terhingga tidak dapat dibandingkan dengan nilai real.
3. Menggunakan Pendekatan Bayes
Dengan teorema Bayes, probabilitas bahwa amplop yang dipilih berisi nilai lebih kecil (x) atau lebih besar (2x) diberikan nilai yang terlihat A dapat dihitung secara eksplisit, menghilangkan asumsi . Contoh:
P(x|A) = \frac{P(A|x)P(x)}{P(A)} , \; P(2x|A) = \frac{P(A|2x)P(2x)}{P(A)}
Jika distribusi prior menurun dengan nilai, maka P(x|A) biasanya lebih besar daripada P(2x|A) ketika A besar, sehingga menukar tidak menguntungkan.
Penyelesaian & Kritik Umum
- Prior yang realistis: Tanpa prior, pernyataan nilai harapan menukar adalah 1.25 A tidak sah.
- Model ekonomi: Dalam konteks keputusan nyata, biaya transaksi atau risiko dapat dimasukkan, membuat menukar menjadi tidak selalu optimal.
- Kesalahan dalam pemakaian ekspektasi tak hingga: Jika ekspektasi tidak konvergen, argumen ekspektasi tidak dapat dipakai.
- Strategi maksimalisasi: Pendekatan maximin atau minimax regret dapat menghasilkan kebijakan menukar atau tidak tergantung pada asumsi risiko pemain.
Intinya, paradox Two Envelopes mengajarkan pentingnya menyoroti asumsi tersembunyi dalam perhitungan probabilitas. Tanpa menyebutkan distribusi nilai uang, argumentasi selalu menukar menjadi tidak logis.
Referensi
- David H. K. L. The Two Envelope Paradox . American Mathematical Monthly, 1996.
- Thomas S. Ferguson, Paradoxes in Probability . Lecture Notes, 2000.
- Richard Gill, Philosophical Aspects of the Two Envelope Problem . Philosophy of Science, 2008.
- Wikipedia: Two envelope paradox (diakses 2026).